양자 얽힘: 양자 얽힘만의 특징

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이번에는 고전적 상관관계와 달리 양자 얽힘에서 나타나는 특징을 조금 더 자세히 다루어보도록 하자. 또한 여기서는 광학계를 기본으로 하는 경우에서 살펴보도록 한다. 즉, 수평 편광 $\vert \leftrightarrow \rangle$, 수직 편광 $\vert \updownarrow \rangle$ 을 basis 으로 하는 경우이다.

수평 편광과 수직 편광을 basis로 하는 system 의 시각화.

또한 기호의 따른 혼동을 발생할 수 있으므로, 여기서는 $\vert \leftrightarrow \rangle \rightarrow \vert 0 \rangle \,, \vert \updownarrow \rangle \rightarrow \vert 1 \rangle$ 으로 간주하도록 하자. 그리고 singlet Bell state $\vert \Psi_{\rm AB}^{-} \rangle$ 를 선택하여 예제를 살펴보도록 한다.

\[\vert \Psi_{\rm AB}^{-} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \vert 01 \rangle - \vert 10 \rangle \right)\]

물론 $\vert 0 1 \rangle = \vert 0_{A} \rangle \otimes \vert 1_{B} \rangle$ 이다.

얽힘에 대한 측정과 붕괴

먼저 고전적인 상황을 생각을 해보자. Alice 와 Bob 이라는 두 사람이 주머니에서 0 또는 1 이라는 숫자를 무작위로 뽑는다. 만약에 Alice 가 0 을 뽑았으면, Bob 은 반드시 1 을 뽑게되고, 반대로 Alice 가 1 을 뽑았으면, Bob 은 반드시 0 가 될 것이다. 즉 어느 숫자를 뽑느냐에 따라 그 숫자가 결정이 되는 것이다.

그렇다면 양자 얽힘 상황은 어떻게 이루어 질까? 그 전에, 양자 얽힘 상황에서는 뽑는 행위, 다시말해 측정 행위를 정의하도록 하자. 여기서는 기본적인 PVM(Projection-Valued Measure) 으로 생각할 것이다. 예를 들어, Alice 가 A 를 측정하는 행위에 대해,

\[\vert 0_{\rm A} \rangle \langle 0_{\rm A} \vert \Psi_{\rm AB}^{-} \rangle \qquad \vert 1_{\rm A} \rangle \langle 1_{\rm A} \vert \Psi_{\rm AB}^{-} \rangle\]

으로 나타낸다. 마찬가지로 고전적인 상황과 동일하게 0 과 1 로 뽑는 것을 생각해보면, Alice 가 측정으로 $\vert 0_{A} \rangle$ 의 결과를 얻었다고 하자. 그러면 Bob 은 $\vert 1_{B} \rangle$ 의 결과를 얻는다. 이것을 식으로 나타내면,

\[\begin{aligned} \vert 0_{\rm A} \rangle \langle 0_{\rm A} \vert \Psi_{\rm AB}^{-} \rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0_{\rm A} \rangle \left( \langle 0_{A} \vert 0 1 \rangle - \langle 0_{A} \vert 1 0 \rangle \right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0_{\rm A} \rangle \vert 1_{\rm B} \rangle \end{aligned}\]

으로 나타난다. 여기서 주의할 점이 있다. Alice 가 ‘측정이라는 행위’를 통해서 결과를 얻었다는 점이다. 다시말해, Alice 가 측정을 하지 않는 이상은, 양자 상태가 붕괴되어 결정되지 않고, $\vert \Psi_{\rm AB}^{-} \rangle$ 인 상태를 유지한다. 즉 아주 멀리 떨어져 있더라도, 한 쪽에서 측정행위가 이루어지지 않는 이상은, 양자 상태를 유지하게 된다는 점이다.

Orthonormal basis 변환에 대한 correlation / anticorrelation 불변

이번에는 basis 를 바꾸는 측정을 해보도록 하자. 기존의 측정이 수평, 수직 편광에 대해서 이루어져 basis 를 이루었다면, 이번에는 45도를 틀어 $45^{\circ} \,, 135^{\circ}$ 를 구분하는 측정을 한다고 해보자. 이렇게 만들어지는 새로운 basis 를 $\vert {+} \rangle \,, \vert {-} \rangle$ 이라고 하면,

\[\vert {+} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \vert 0 \rangle + \vert 1 \rangle \right) \qquad \vert {-} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \vert 0 \rangle - \vert 1 \rangle \right)\]

으로 나타낼 수 있다.¹

45도 틀어서 만들어진 새로운 basis

새롭게 세운 기준을 기존에 측정하던 방법으로 다시 쓰게되면,

\[\vert 0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \vert {+} \rangle + \vert {-} \rangle \right) \qquad \vert 1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \vert {+} \rangle - \vert {-} \rangle \right)\]

으로 나타내진다. 이제 이 식을 singlet Bell state 에 대입하도록 하자.

\[\begin{aligned} \vert \Psi_{\rm AB}^{-} \rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{2}\left( \vert {+} \rangle + \vert {-} \rangle \right)_{\rm A} \left( \vert {+} \rangle - \vert {-} \rangle \right)_{\rm B} - \frac{1}{2}\left( \vert {+} \rangle - \vert {-} \rangle \right)_{\rm A} \left( \vert {+} \rangle + \vert {-} \rangle \right)_{\rm B} \right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( - \vert {+}_{\rm A} \rangle \vert {-}_{\rm B} \rangle + \vert {-}_{\rm A} \rangle \vert {+}_{\rm B} \rangle \right) \end{aligned}\]

놀랍게도, basis 는 달라졌지만, anticorrelation 은 유지하는 것을 확인할 수 있다! 마찬가지로, 양자 얽힘: 벨 상태 게시글에서 소개한 나머지 Bell state 에 대해서도 $\vert + \rangle \,, \vert - \rangle$ 의 basis 로 변환을 하면,

\[\begin{aligned} \vert \Psi_{\rm AB}^{+} \rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \vert 0 1 \rangle + \vert 1 0 \rangle \right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \vert {+}_{\rm A} \rangle \vert {+}_{\rm B} \rangle - \vert {-}_{\rm A} \rangle \vert {-}_{\rm B} \rangle \right) \rightarrow \vert \Phi_{\rm AB}^{-} \rangle \\ \vert \Psi_{\rm AB}^{-} \rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \vert 0 1 \rangle - \vert 1 0 \rangle \right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( -\vert {+}_{\rm A} \rangle \vert {-}_{\rm B} \rangle + \vert {-}_{\rm A} \rangle \vert {+}_{\rm B} \rangle \right) \rightarrow -\vert \Psi_{\rm AB}^{-} \rangle \\ \vert \Phi_{\rm AB}^{+} \rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \vert 0 0 \rangle + \vert 1 1 \rangle \right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \vert {+}_{\rm A} \rangle \vert {+}_{\rm B} \rangle + \vert {-}_{\rm A} \rangle \vert {-}_{\rm B} \rangle \right) \rightarrow \vert \Phi_{\rm AB}^{+} \rangle \\ \vert \Phi_{\rm AB}^{-} \rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \vert 0 0 \rangle - \vert 1 1 \rangle \right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \vert {+}_{\rm A} \rangle \vert {-}_{\rm B} \rangle + \vert {-}_{\rm A} \rangle \vert {+}_{\rm B} \rangle \right) \rightarrow \vert \Psi_{\rm AB}^{+} \rangle \end{aligned}\]

으로 변환이 되는 모습을 알 수 있다. 두 번째 경우가 anticorrelation 인데, 나머지 경우들을 살펴보면 correlation 끼리 바뀌거나 그대로 유지하는 모습을 보인다.

Basis 변환과 양자 얽힘

또한 양자 얽힘에 있어 재미있는 사실은, orthonormal basis 에 대한 변환을 하지 않은 상태에서 얽힘의 관계가 더 크다는 점이다. 예를 들어 $\vert 0 1 \rangle$ 과 같이 얽혀진 큐비트가 주어진 상황에서, $\vert {+} \rangle \,, \vert {-} \rangle$ 으로 basis를 바꾼다고 생각해보자. 그러면

\[\begin{aligned} \vert 0 1 \rangle &= \frac{1}{2}\left( \vert {+} \rangle + \vert {-} \rangle \right) \left( \vert {+} \rangle - \vert {-} \rangle \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \vert {+}_{\rm A} \rangle \vert {+}_{\rm B} \rangle - \vert {+}_{\rm A} \rangle \vert {-}_{\rm B} \rangle + \vert {-}_{\rm A} \rangle \vert {+}_{\rm B} \rangle - \vert {-}_{\rm A} \rangle \vert {-}_{\rm B} \rangle \right) \\ &= \frac{1}{2} \left[ \left( \vert {+}_{\rm A} \rangle \vert {+}_{\rm B} \rangle - \vert {-}_{\rm A} \rangle \vert {-}_{\rm B} \rangle \right) + \left( - \vert {+}_{\rm A} \rangle \vert {-}_{\rm B} \rangle + \vert {-}_{\rm A} \rangle \vert {+}_{\rm B} \rangle \right) \right] \end{aligned}\]

으로 정리할 수 있고, 각각 correlation 과 anticorrelation 으로 나뉘는 것을 확인할 수 있다. 이러한 점이 눈여겨 보야할 점이다. 측정의 관점에서 생각해보면, $\vert 0 \rangle \,, \vert 1 \rangle$ 을 측정하는 관점에서, 반드시 anticorrelation 이 있다. 그러나 $\vert + \rangle \,, \vert - \rangle$ 으로 측정하는 관점에서는, 50% 는 correlation 을, 50% 는 anticorrelation 이라는 점이다. 예를 들어 A 의 상태가 $\vert - \rangle$ 이면

\[\vert {-}_{\rm A} \rangle \langle {-}_{\rm A} \vert 0 1 \rangle = \frac{1}{2} \left( - \vert {-}_{\rm A} \rangle \vert {-}_{\rm B} \rangle + \vert {-}_{\rm A} \rangle \vert {+}_{\rm B} \right)\]

으로 B가 $\vert - \rangle$ 일지 $\vert + \rangle$ 일지 알 수없다. 그러므로 상관도가 높은 $\vert 0 \rangle \,, \vert 1 \rangle$ 의 측정이 얽힘의 상관관계를 가지고, basis 를 바꾼 상황에서는 상관관계가 약해진 것이 된다.

References

• 이해웅, 양자 정보학 강의, 3장
• Wikipedia, Measurement in quantum mechanics

1. 물론, 후자는 $-45^\circ$ 를 basis 로 할 수도 있다. ↩