순수 상태와 혼합 상태

우리가 살고있는 지구에서 대기는 질소(78%), 산소(21%), 아르곤(0.93%), 이산화 탄소(0.04%)로 이루어져 있다고 알려져 있다. 이처럼 지구의 대기는 인간이 숨을 들이내쉬어 생명활동을 하는 산소로만 이루져 있지 않다. 이와 같이 양자계에서도 하나의 물질이 아닌 섞여있는 상태로 이루어져 있거나, 또는 하나의 물질로만 이루어진 순수한 상태를 생각해볼 수 있다. 이 게시글에서는 양자역학에서 구분하는 순수 상태와 혼합 상태를 알아보자 한다.

엄밀성을 위하여, 다음의 내용들에서 특별한 언급이 없는 한 양자계를 표현하는 공간은 2차원 복소공간에 속하는 Hilbert space $\mathcal{H} \in \mathbb{C}^2$ 이다.

순수 상태 (Pure State)

정의부터 알아보고 가자.

DEFINITION: 어떤 양자계에 속한 파동함수가, 단독으로 존재하거나 중첩으로 존재하는 상황에서, 각 파동함수를 구별할 수 있다면 이를 Pure State라고 한다. 다시말해,

\[\vert \psi \rangle = \sum_i a_i\vert \phi_i \rangle\]

여기서 $a_i$는 일반적으로 complex number이며, $\vert a_i \vert^2 = 1$를 만족한다.

DEFINITION에 제시된 식에서 $a_i$는 i번째 양자 확률진폭(Probability Amplitude), $\vert \phi \rangle_i$는 i번째 직교 규격화된 고유 함수이다. 다시 말해서 순수 상태는 각 직교 규격화된 Base Ket으로 중첩되어 표현가능하고 각 상태의 확률을 알 수 있는 상황을 말한다.

혼합 상태 (Mixed State)

혼합 상태는 순수 상태가 통계적으로 잘 섞여진 상태(statistically ensemble state)라고 생각하면 된다.

DEFINITION: 어떤 양자계에서 파동함수가 중첩되어 있을 때, 각 파동함수를 기저(basis)로 구별할 수 없고 여러 pure state가 섞인 경우 이를 Mixed State라고 한다.

\[\sum_i^n b_i\vert \psi_i \rangle = b_1\vert \psi_1 \rangle + b_2\vert \psi_2 \rangle + b_3\vert \psi_3 \rangle + \cdots\]

여기서 $b_i$는 단순히 확률이며, 규격화 조건으로 $\sum_i^n b_i = 1$을 만족한다.

순수 상태와 달리 혼합 상태는 앞과는 달리 여러 파동함수가 섞여있기 때문에 orthonomal basis로 표현되는 파동함수를 알 수 없다. 그러므로 주의할 점은 저 식에서 모든 파동함수의 개수와, 각 파동함수의 차원이 같을 필요가 없다.

일반적으로는 두 상태에 대하여 밀도행렬로 기술하며 이 표현(representation)으로 두 상태를 손쉽게 구별할 수 있다.

밀도 행렬 (Density Matrix)

밀도 행렬은 다음과 같이 정의된다.

DEFINITION: 유한 차원 함수 공간에서 Pure State의 Denstiy Matrix는

\[\rho_{PS} \equiv \vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \sum_i a_ia_i^*\vert\phi_i\rangle \langle\phi_i\vert\]

여기서 $a_i$는 complex number이며, $\sum_i a_ia_i^* = 1$을 만족한다.

만약 Pure State가 아닌 Mixed State인 경우에는,

\[\rho_{MS} \equiv \sum_ib_i \vert \psi_i \rangle \langle \psi_i \vert\]

그리고 $\sum_i^n b_i = 1$

앞의 순수상태의 식과 마찬가지로 $ a_i $ 는 확률진폭이다. 여기서 Mixed State의 경우 확률진폭이 아닌 확률으로 기술된다는 점에 주의하자.

보다 이해를 돕기 위해서 density operator¹가 등장하는 과정을 살펴보도록 하자. 먼저 우리가 어떤 관측가능한 연산자(Observable operator) ‘A’가 있다고 가정을 하자. Observable ‘A’는 기본적으로 eigenfunction

\[A\vert a' \rangle = a'\vert a' \rangle\]

을 만족하며, 이를 mixed ensemble (state)에서 측정(measurements in Q.M.)한다고 하자. 아주 많이 측정을 했다고 가정을 하면, Observable ‘A’의 평균을 알 수 있을 것이다. 이를 A에 대한 앙상블 평균(Ensemble Average)이라고 하며 계산하면

\[\begin{aligned} \langle A \rangle &= \sum_i b_i\langle \psi_i \vert A \vert \psi_i \rangle \\ &= \sum_{i,j} b_i \langle\psi_i\vert A \vert a'_j\rangle\langle a'_j \vert\psi_i\rangle \\ &= \sum_{i,j} b_i \vert \langle a'_j \vert \psi_i \rangle \vert^2 a'_j \\ &= \sum_{i,j} b_i \langle a'_j \vert \psi_i \rangle \langle \psi_i \vert a'_j \rangle a'_j \end{aligned}\]

여기서 Identity operator를 표현하는 식 $\sum_i \vert a_i \rangle \langle a_i \vert = \rm I$ 이 사용되었다. 그렇다면 여기서 또 다른 base ket set를 걸어보면 어떨까? 앞의 두번째 식에서 시작하자.

\[\begin{aligned} \langle A \rangle &= \sum_{i,j} b_i \langle\psi_i\vert A \vert a'_j\rangle\langle a'_j \vert\psi_i\rangle \\ &= \sum_i \sum_j \sum_k b_i \langle\psi_i\vert a_k^{''} \rangle \langle a_k^{''} \vert A \vert a'_j\rangle\langle a'_j \vert\psi_i\rangle \\ &= \sum_j \sum_k \left( \sum_i b_i \langle a'_j \vert\psi_i\rangle \langle\psi_i\vert a_k^{''} \rangle \right) \langle a_k^{''} \vert A \vert a'_j\rangle \end{aligned}\]

방금전의 식과 하나가 있을 때와 비교하면, 몇 개의 Base ket set이 있던 하나의 고정된 항이 있고 단순히 pure state의 합에만 의존하는 것을 볼 수 있다. 즉

\[\sum_{i} b_i \vert \psi_i \rangle \langle \psi_i \vert\]

이것이 density operator 이다. 여기서 summation 만 없으면 pure state의 desity operator 가 된다. 그리고 주어진 orthonormal basis (eigenvector) 으로 matrix representation 을 하는 경우, denstiy matrix 가 구성된다.

Density Matrix를 이용한 Pure State와 Mixed State의 차이

이제 pure state와 mixed state의 차이를 살펴보자. Pure state와 mixed state를 구분하는 방법은 바로 대각합(Trace, 트레이스)를 이용한다. 먼저 pure state에서는 파동함수를 구별할 수 있다고 언급하였다. 여기서 중요한 성질이 하나 있는데 pure state에서,

\[\rho^2 = \rho\]

이것은 간단하게 보일 수 있다.

\[\begin{aligned} \rho^2 = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert \end{aligned}\]

Pure State의 Density Matrix의 Trace를 구해보자.

\[\begin{aligned} \rm Tr\rho &= \sum_i \langle \phi_i \vert \rho \vert \phi_i \rangle \\ &= \sum_i \langle \phi_i \vert \psi \rangle \langle \psi \vert \phi_i \rangle \\ &= \sum_i a_ia_i^* = \sum_i p_i = 1 \end{aligned}\]

그러므로 pure state의 모든 확률의 합은 1로 나타난다. 다음으로 mixed state의 density matrix의 trace를 구해보자. 이 때 mixed state의 density matrix는 각 pure state의 density matrix의 합

\[\rho = \sum_i p_i\rho_i\]

으로 표현된다. 여기서 구분되는 점은 pure state와 달리

\[\rho \neq \rho^2\]

이라는 사실이다. 간단하게 살펴보면, 앞의 pure state와 같이 전체 확률을 1로 둘 때 $\rm Tr\rho = 1$이 되는 것은 당연하다.

하지만 $\rho^2$의 경우, $$ \begin{aligned} \rho^2 &= \left( \sum_ip_i\rho_i \right) \left( \sum_ip_i\rho_i \right) \\ &\neq \left( \sum_i \langle \phi_i \vert \rho \vert \phi_i \rangle \right)\left( \sum_i \langle \phi_i \vert \rho \vert \phi_i \rangle \right) \end{aligned} $$ 정의를 다시 생각해보면, 당연히 성립이 되지 않는다. 왜냐하면 우리는 mixed state에서 정확히 직교 규격화된 ket으로 이루어진 파동함수를 알 수 없다고 했기 때문이다.

(해당 부분 설명은 엄밀성이 부족하여 빠른 시일내에 내용 보충 예정.) 따라서 mixed state의 $\rm {Tr}\rho^2$은

\[\rm Tr \rho^2 = \sum_ip_i^2 < 1\]

으로 나타난다.² 이제 pure state와 mixed state의 등식을 정리하자.

THEOREM: Pure State에서 density matrix의 trace는

\[\rm Tr \rho^2 = \rm Tr \rho = 1\]

Mixed State에서 Denstiy Matrix의 Trace는

\[\rm Tr \rho^2 < 1\]

References

• J.J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, 3rd Ed., 3.4.2 Ensemble Averages and Desntiy Operator
• 이해웅, 양자 정보학 강의, 1장

1. 엄밀하게는, density operator 라고 부르는 것이 맞다. 왜냐하면 density matrix 는 density operator 를 주어진 system 의 orthonormal basis 로 matrix representation 한 것이 density matrix 가 되기 때문이다. 자세한 내용은 Sakurai의 양자역학 책 참조. ↩

2. 사실 이부분에서도 뭔가 불명확한 느낌이 없지 않다. 단순히 Normalization 때문에 합이 1이 아니라는 것으로 작다고만 표현한다는 것이 정당화가 되는 것일까? ↩