얽혀있는 공간의 밀도 행렬

앞의 게시글에서는 pure state와 mixed state가 어떤 차이가 있는 지 알아보았다. 이번에는 pure state에서 기술하되, 전체 system 이 Hilbert space 이고 subsystem 이 A와 B로 존재할 때, density matrix가 어떻게 나타나는지 살펴보고자 한다.

개요

먼저 주어진 조건의 Hilbert space 를

\[\mathcal{H}_{AB} = \mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B\]

으로 기술할 수 있다. 그리고 이와 같은 경우에는 A system 과 B system 의 unit vector 로 얽혀있는 파동함수는,

\[\vert\psi_{AB}\rangle = \sum_{i,j}{C_{ij}}\vert{i}_A\rangle\vert{j}_B\rangle\]

이다. 이를 pure state 의 density matrix 의 정의에 따라 적어보면,

\[\begin{aligned} \rho_{AB} &= \vert\psi_{AB}\rangle \langle\psi_{AB}\vert \\ &= \left( \sum_{i,j}{C_{ij}}\vert{i}_A\rangle\vert{j}_B\rangle \right) \left( \sum_{k,l}{C_{kl}^*}\langle{k}_A\vert\langle{l}_B\vert \right) \\ &= \sum_{i,j}\sum_{k,l}{C_{ij}}{C_{kl}^*} \left( \vert{i}_A\rangle \langle{k}_A\vert \right) \left( \vert{j}_B\rangle\langle{l}_B\vert \right) \end{aligned}\]

이 때 파동함수의 bra와 ket의 index는 다르게 구성됨에 주의하자. 이제 여기서 A나 B의 density matrix 는 어떻게 구하는가? 이 때 사용되는 정의가 바로 환산 밀도 행렬 (Reduced Density Matrix)이다.

DEFINITION : 전체 system 이 $\mathcal{H}_{AB}$ 으로 이루어진 Hilbert space 에서 전체 system 의 density matrix 에 대한 Reduced Density Matrix $\rho_A$, $\rho_B$는

\[\begin{aligned} \rho_A = \text{tr}_B\vert \psi_{AB} \rangle \langle \psi_{AB} \vert \\ \rho_B = \text{tr}_A\vert \psi_{AB} \rangle \langle \psi_{AB} \vert \end{aligned}\]

여기서 tr은 대각합 (Trace, 트레이스)이다.

식을 간단하게 해석해보면, $\rho_A$는 density matrix에서 B의 대각 성분을 모두 합하고 남은 것들, 즉 A만을 의미한다. 이제 앞에서 주어진 density matrix $\rho_{AB}$로 A에 대한 reduced density matrix를 구해보도록 하자.

\[\begin{aligned} \rho_A &= Tr_B \rho_{AB} \\ &= Tr_B \left( \sum_{i,j}{C_{ij}}\vert{i}_A\rangle\vert{j}_B\rangle \right) \left( \sum_{k,l}{C_{kl}^*}\langle{k}_A\vert\langle{l}_B\vert \right) \\ \end{aligned}\]

이 때 B에 대한 trace 는 아래와 같은 관계식을 만족한다.¹

\[Tr_B(\vert{j}_B\rangle\langle{l}_B\vert) = \delta_{jl}\]

그러므로 $\rho_A$는

\[\begin{aligned} \rho_A &= \sum_{i,j}\sum_{k,l} \delta_{jl} {C_{ij}}{C_{kl}^*} \left( \vert{i}_A\rangle\vert{j}_B\rangle \right) \left( \langle{k}_A\vert\langle{l}_B\vert \right) \\ &= \sum_{i,j}\sum_{k} {C_{ij}}{C_{kj}^*} \left( \vert{i}\rangle_A\vert{j}\rangle_B \right) \left( \langle{k}\vert_A\langle{j}\vert_B \right) \end{aligned}\]

이 때 여기서 completeness relation

\[\sum_{j} \vert j_B \rangle \langle j_B \vert = \mathbf{I}\]

을 만족하기 때문에 최종적으로 A의 reduced density matrix는

\[\rho_A = \sum_{i,j,k} {C_{ij}}{C_{kj}^*} \vert{i}_A\rangle \langle{k} \vert_A\]

으로 결정된다. 마찬가지로 B에 대한 reduced density matrix는

\[\rho_B = \sum_{i,j,l}{C_{ij}}{C_{il}^*}\vert{j}\rangle_B\langle{l}\vert_B\]

Example: Spin System

스핀계에서 다음과 같은 순수상태의 파동함수가 주어질 때 reduced density matrix 를 계산해보도록 하자.

\[\vert \psi \rangle = \frac{1}{2} \left( \vert \uparrow \uparrow \rangle + \vert \uparrow \downarrow \rangle + \vert \downarrow \uparrow \rangle + \vert \downarrow \downarrow \rangle \right)\]

여기서 $\vert \uparrow \uparrow \rangle = \vert \uparrow_A \rangle \otimes \vert \uparrow_B \rangle$를 의미한다. 먼저 density matrix 는

\[\begin{aligned} \rho &= \vert \psi \rangle \langle \psi \vert \\ &= \frac{1}{4} \left( \vert \uparrow \uparrow \rangle + \vert \uparrow \downarrow \rangle + \vert \downarrow \uparrow \rangle + \vert \downarrow \downarrow \rangle \right) \left( \langle \uparrow \uparrow \vert + \langle \uparrow \downarrow \vert + \langle \downarrow \uparrow \vert + \langle \downarrow \downarrow \vert \right) \\ \end{aligned}\]

으로 주어진 eigenvalue 에 대한 matrix representaion 을 통해 4x4 Matrix로 구성이 될 것이다. A에 대한 reduced density matrix를 구해보자.

\[\begin{aligned} \rho_A &= Tr_B\rho_{AB} \\ &= \sum_i \langle i_B \vert \rho_{AB} \vert i_B \rangle \\ &= \langle \uparrow_B \vert \rho_{AB} \vert \uparrow_B \rangle + \langle \downarrow_B \vert \rho_{AB} \vert \downarrow_B \rangle \\ &= \frac{1}{4} \left( \vert \uparrow \rangle + \vert \downarrow \rangle \right) \left( \langle \uparrow \vert + \langle \downarrow \vert \right) + \frac{1}{4} \left( \vert \uparrow \rangle + \vert \downarrow \rangle \right) \left( \langle \uparrow \vert + \langle \downarrow \vert \right) \end{aligned}\]

B에 대한 reduced density matrix도 계산해보면

\[\begin{aligned} \rho_B &= Tr_B\rho_{AB} \\ &= \sum_i \langle i_A \vert \rho_{AB} \vert i_A \rangle \\ &= \langle \uparrow_A \vert \rho_{AB} \vert \uparrow_A \rangle + \langle \downarrow_A \vert \rho_{AB} \vert \downarrow_A \rangle \\ &= \frac{1}{4} \left( \vert \uparrow \rangle + \vert \downarrow \rangle \right) \left( \langle \uparrow \vert + \langle \downarrow \vert \right) + \frac{1}{4} \left( \vert \uparrow \rangle + \vert \downarrow \rangle \right) \left( \langle \uparrow \vert + \langle \downarrow \vert \right) \end{aligned}\]

으로 A와 B에 대한 reduced denstiy matrix를 구했다. 지금과 같은 상황에서는 두 공간이 다르지만 동일한 식을 구성하는 모습을 보인다.

1. J.J. Sakurai, Jim Napolitano, ‘Modern Quantum Mechanics’, 1.5 Change of Basis - Transformation Matrix 참조. ↩